circunferencia

CIRCUNFERENCIA 

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia fija llamada radio, de un punto dado, llamado centro. 

El punto P es un punto cualquiera de la circunferencia y tiene  coordenas (x,y) 

C es e centro con las coordenadas (h,k) uniendo los puntos se forma un triangulo isoceles

            ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
           

Centro, es el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

Radio. Es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro.El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre 2π.

Diámetro. El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre π;

Cuerda. La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de longitud máxima.

Recta secante. Es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos.

Recta tangente. Es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto.

Punto de Tangencia es el punto de contacto de la recta tangente con la circunferencia.

Arco. El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco.

Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA 

la ecuación (x ─ a)² + (y ─ b)² = r² (que en forma matemática representa una circunferencia). 

De la ecuación ordinaria a la ecuación general

Si en esta ecuación ordinaria ─cuyo primer miembro (lado izquierdo) está formado por la suma de dos cuadrados de binomio─, eliminamos los paréntesis desarrollando dichos binomios, pasamos todos los términos al primer miembro y la igualamos a cero, tendremos:
x² ─ 2ax + a² + y² ─ 2by + b² ─  r² = 0   ecuación que ordenada sería
x² + y² ─ 2ax ─ 2by + a² + b² ─ r²  = 0
Si para tener una ecuación más sintetizada hacemos las siguientes asignaciones:
─ 2a = D, 
─ 2b = E, 
a² + b² ─ r² = F 
la ecuación quedaría expresada de la forma:
x² + y² + Dx + Ey + F = 0  conocida como Ecuación General de la Circunferencia, la cual debe cumplir las siguientes condiciones para serlo:
No existe término en xy
Los coeficientes de x² e y² son iguales.
Si D = ─ 2a    entonces 
Si E = ─ 2b    entonces 
Si F = a² + b² ─  r² entonces 
Además, otra condición necesaria para que una ecuación dada represente una circunferencia es que:

                         a² + b² ─ F > 0  (a² + b² ─ F debe ser mayor que cero)
Nota:
Para simplificar la ecuación general de la circunferencia (x² + y² ─ 2ax ─ 2by + a² + b² ─ r²  = 0) algunos textos o docentes utilizan otra convención y hacen:
─ 2a = A, 
─ 2b = B,
a² + b² ─ r² = C para tener finalmente
x² + y² + Ax + By + C = 0   que es lo mismo que x² + y² + Dx + Ey + F = 0

A modo de recapitulación

Si conocemos las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuacion ordinaria, y si operamos los binomios cuadrados que la conforman, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia.

Ecuación reducida de la circunferencia

Volviendo a nuestra ecuación ordinaria (x ─ a)² + (y ─ b)² = r² , debemos consignar que si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas (0, 0) la ecuación queda reducida a:
(x ─ a)² + (y ─ b)² = r²
(x ─ 0)² + (y ─ 0)² = r²
x² + y² = r<sup>2

EJERCICIOS</sup> 


            Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

h:3
k:4
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-3)²+ (y-4)²=2²
X²-6x-9-y²-8y-16=4
X²-y²-6x-8y-16-4=0
X²-y²-6x-8y-21=0